Ο νόμος του Αρχιμήδη, εφαρμογή στην πράξη.

Αρχιμήδης (287 π.Χ. - 212 π.Χ.)

Ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς, φυσικούς και μηχανικούς της αρχαιότητας.

Γεννήθηκε, έζησε και πέθανε στις Συρακούσες, (ελληνική αποικία της Σικελίας).

 

Άγαλμα του Αρχιμήδη σε κεντρικό πάρκο του Βερολίνου.

 

Πυκνότητα διαφόρων υλικών:
Νερό (4⁰C)           H₂O           1,00 kg/dm³
Θαλασσινό νερό  H₂O   1,025-1,035 kg/dm³ 

Μολύβι (βάρη)      P_b           11,34 kg/dm³  
Σίδηρος               F_e             7,85 kg/dm³ 
Αλουμίνιο              Al              2,7   kg/dm³ 
Αέρας                    -                1,27 g/l  (γραμμάρια / λίτρο)

Παράδειγμα: 1

Πιο είναι το φαινομενικό βάρος  (B _υποβρ.) στη θάλασσα τα 6 kg βάρη τα οποία χρησιμοποιείς υποβρυχίως?

Υπολογίζουμε την άνωση (εκτοπιζόμενο νερού) των βαρών μας με τον μαθηματικό τύπο:  

V = m / ρ  [V = όγκος, m = μάζα (βάρος), ρ = πυκνότητα]

V_βαρών = 6kg / 11,3 kg/dm³ = 0,531 dm³

 

Υπολογισμός της άνωσης των βαρών στο θαλασσινό νερό:

Άνωση _(m)  =  V_βαρών * ρ _{(θαλ. νερού)}
Άνωση _(m)  = 0,531 dm³ * 1,035 kg/dm³

Άνωση _(m)  = 0,55 kg 


Υπολογισμός του βάρους υποβρυχίως:

Β _υποβρ. = 6 kg – άνωση 
Β _υποβρ. = 6 kg – 0,55 kg = 5,45 kg

Αποτέλεσμα: Τα 6 kg βάρη τα οποία χρησιμοποιούμε στην κατάδυσή μας, φαινομενικά υποβρυχίως ζυγίζουν 5,45 kg

Παράδειγμα: 2 

Έχουμε μια σιδερένια φιάλη 10 λίτρων και το βάρος της είναι 11,4 kg, ποια είναι η άνωση της φιάλης όταν είναι γεμάτη με αέρα με 200 bar πίεση και ποια είναι η άνωση της ίδιας φιάλης μετά από μια κατάδυση με 50 bar πίεση. 

Το βάρος και ο όγκος της φιάλης μας είναι γνωστό 10 l και 11,4 kg αντίστοιχα,  πρέπει να υπολογίσουμε βάρος του αέρα:

α) με 200 bar πίεση 
β) με 50 bar πίεση

α) Vφιάλης = 10 l, Pπίεση φιάλης = 200bar, ρ _{πυκνότητα αέρα} = 1,27 g / l (γραμμάρια  / λίτρο)

Το βάρος του αέρα είναι:
m = V * ρ  
m = 10 l  * 200 bar * 1,27 g/l * 1kg / 1000 g = 2,54 kg 

Συνολικό βάρος = βάρος φιάλης + βάρος αέρα 
Συνολικό βάρος =  11,4 kg +2,54 kg 

Συνολικό βάρος =  13,94 kg  


Εκτόπισμα νερού:
Εκτόπισμα νερού  = (V _{όγκος φιάλης} + V _{όγκος μετάλλου φιάλης})  * ρ (θαλ. Νερού) 

V _{όγκος μετάλλου φιάλης} = m/ρ

V _{όγκος μετάλλου φιάλης} = 11,4 kg / 7,85 kg/ dm³ 
V _{όγκος μετάλλου φιάλης} = 1,45 dm³   (1 dm³  αντιστοιχεί με 1 l)

Εκτόπισμα νερού = (10 l + 1,45 l) * ρ _{(θαλ. Νερού)} 
Εκτόπισμα νερού  = 11,45 l * 1,035 kg/ l 

Εκτόπισμα νερού  = 11,85 kg

Άνωση _(m): 
Άνωση _(m)  = Εκτόπισμα _νερού – Συνολικό _{βάρος φιάλης} 
Άνωση _(m)  = 11,85 kg – 13,94 kg 

Άνωση _(m)  = - 2,09 kg

β) Vφιάλης = 10 l, Pπίεση φιάλης = 50 bar, ρ _{πυκνότητα αέρα} = 1,27 g / l 

m = V * ρ  

m = 10 l * 50 bar * 1,27 g/l * 1 kg / 1000 g = 0,635 kg

Συνολικό βάρος:

Συνολικό βάρος = βάρος φιάλης + βάρος αέρα

Συνολικό βάρος =  11,4 kg + 0,635 kg 

Συνολικό βάρος =  12,0 kg

Άνωση _(m):

Άνωση _(m)  = Εκτόπισμα _νερού – Συνολικό _{βάρος φιάλης}

Άνωση _(m)  = 11,85 kg – 12,0 kg 

Άνωση _(m)  = - 0,15 kg 

Αποτέλεσμα: α) η φιάλη γεμάτη με 200 bar έχει αρνητική άνωση - 2,09 kg, β) η φιάλη με το υπόλοιπο του αέρα 50 bar, έχει αρνητική άνωση μόλις - 0,15 kg.

Παράδειγμα: 3

Ποια είναι η ποσότητα αερίου που θα χρειαστούμε για να ανασύρουμε με την βοήθεια ανυψωτικού σάκου μιας σιδερένιας άγκυρας βάρους 50 kg  από τα -30 m βάθος??

Όγκος της άγκυρας:

V _{όγκος άγκυρας} = m / ρ

V _{όγκος άγκυρας} = 50,0 kg/ 7,85 kg/ dm³

V _{όγκος άγκυρας} = 6,37 dm³   (1 dm³  αντιστοιχεί με 1 l)

Εκτόπισμα νερού: 

Εκτόπισμα (m) _{νερού άγκυρας} = V * ρ _{(θαλ. Νερού)}

Εκτόπισμα (m) _{νερού άγκυρας} = 6,37 dm³ * 1,035 kg/ dm³

Εκτόπισμα (m) _{νερού άγκυρας} = 6,6 kg

Το βάρος της άγκυρας υποβρ. είναι:

m = βάρος - εκτόπισμα _νερού  

m = 50,0 kg – 6,6 kg

m = 43,4 kg

Ποσότητα αερίου που απαιτείται για την ανύψωση:

p₁ * V₁ = p₂ * V₂   (νόμος του Boyle – Mariott)

p₁  = πίεση αερίου στα 30 m βάθος (4 bar)

V₁ = όγκος αερίου στα 30 m βάθος (43,4 λίτρα)

p₂ =  ατμοσφαιρική πίεση (1 bar)

V₂ = όγκος αερίου στην επιφάνεια (είναι το ζητούμενο)

V₂ = (p₁ * V₁) / p₂

V₂ = (4 bar * 43,4 l) / 1 bar

V₂ = (173,6 bar * l) / 1 bar

V₂ = 173,6 l

Αποτέλεσμα: Για να ανυψώσουμε την άγκυρα από τα 30 m βάθος χρειαζόμαστε τουλάχιστον 173,6 l αερίου.

Χρήστος Ευθυμίου